боялся увидеть в тегах «приколы для даунов со знанием математики»
06.03.2024, 06:50
Первое - какая-нибудь функция с разрывами. Проинтегрировать-то можно, а вот первообразная уже фигней какой-то будет. Вроде как sign(x) легко можно принтегрировать, а |x| - не дифференцируемая функция. Просто и понятно. Выглядит по-человечески.
Второе - гуглится пример x^2 sin(1/x^2).
У этой функции можно взять производную, но она будет такая всратая около нуля, что по Риману не интегрируема. Там будет бесконечное количетсво осцилляций. Эту фигню можно по Лебегу проинтегрировать, но не по Римиану.
Второе - гуглится пример x^2 sin(1/x^2).
У этой функции можно взять производную, но она будет такая всратая около нуля, что по Риману не интегрируема. Там будет бесконечное количетсво осцилляций. Эту фигню можно по Лебегу проинтегрировать, но не по Римиану.
Производная x^2 sin(1/x^2) вряд ли интегрируема по Лебегу, т к знакопеременная функция интегрируема по Лебега тогда, и только тогда когда её абсолютное значение интегрируемо по Лебегу, а в нашем случае
|2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2)| вряд ли интегрируема по Лебегу в районе 0 из-за 2/x члена.
|2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2)| вряд ли интегрируема по Лебегу в районе 0 из-за 2/x члена.
Тьфу ты, правильно сказать было «знакопеременная функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда её положительная и отрицательная части интегрируемы и хоть одна из них имеет конечный интеграл», а то иначе смысла нет в моём аргументе. Но суть в любом случае в том, что у этой функции её положительная и отрицательная часть, скорее всего, имеют бесконечный интеграл, а значит её интегралу нельзя приписать значение по Лебегу.
Ты неправ.
1. Интегрируемо по Лебегу далеко не всё,
2. Интегрируемость по Лебегу намного свободнее интегрируемости по Риману в вопросах того, насколько плохо функция ведёт себя локально. В этом плане, например |F’(x)|, где F(x)=x^2sin(1/x^2), интегрируема по Лебегу и даёт значение +бесконечность.
Но интеграл Лебега не лучше интеграла Римана, если проблема не в локальном поведении, а в том, что интеграл тупо расходится. Почитай определение интеграла Лебега : ты сначала определяешь его для любых положительных (измеримых) функций, а потом определяешь на все (измеримые) функции, говоря, что интеграл f dμ это интеграл положительной части минус интеграл отрицательной части. И это выражение как раз имеет смысл только если хоть один из двух этих интегралов имеет конечное значение, иначе ты пишешь бесконечность минус бесконечность, и Лебег тебе не поможет.
Этот интеграл считается только несобственным интегралом, который является пределом интегралов (каких хочешь, хоть Лебега, хоть Римана), что делает из него не интеграл, а нечто немного более читерское.
А про функцию Дирихле… она по Лебегу равна нулю почти всюду, конечно он её интегрирует. Проблема в бесконечностях, а не в том как выглядит твоя функция.
1. Интегрируемо по Лебегу далеко не всё,
2. Интегрируемость по Лебегу намного свободнее интегрируемости по Риману в вопросах того, насколько плохо функция ведёт себя локально. В этом плане, например |F’(x)|, где F(x)=x^2sin(1/x^2), интегрируема по Лебегу и даёт значение +бесконечность.
Но интеграл Лебега не лучше интеграла Римана, если проблема не в локальном поведении, а в том, что интеграл тупо расходится. Почитай определение интеграла Лебега : ты сначала определяешь его для любых положительных (измеримых) функций, а потом определяешь на все (измеримые) функции, говоря, что интеграл f dμ это интеграл положительной части минус интеграл отрицательной части. И это выражение как раз имеет смысл только если хоть один из двух этих интегралов имеет конечное значение, иначе ты пишешь бесконечность минус бесконечность, и Лебег тебе не поможет.
Этот интеграл считается только несобственным интегралом, который является пределом интегралов (каких хочешь, хоть Лебега, хоть Римана), что делает из него не интеграл, а нечто немного более читерское.
А про функцию Дирихле… она по Лебегу равна нулю почти всюду, конечно он её интегрирует. Проблема в бесконечностях, а не в том как выглядит твоя функция.
Фундаментальная теорема анализа, которую люди проходят даже, в каком-то смысле, в школе (правда в школе это подают не как теорему, а как определение того что такое интеграл) : если f интегрируема по Риману на [a,b], и F её первообразная (т.е. F’=f), то (интеграл от a до b) f(x) dx = F(b)-F(a). Слова в теореме могут звучать страшно, но как я сказал, можно в голове даже это воспринимать как определение интеграла, а не как какую-то теорему.
Тем не менее как и у любой теоремы, у неё есть какие-то требования/гипотезы. У f должна существовать первообразная и она должна быть интегрируема по Риману. Хотелось бы думать, что эти два условия непременно связаны, но оказывается не так :
1. Можно легко построить пример функции, которая интегрируема по Риману, но не имеет первообразной. Например, f(x) = 0 для x=1 на интервале [0, 2].
2. Можно чуть менее легко построить пример функции, у которой есть первообразная, но которая не интегрируема в смысле Римана. Например, F(x)= x^2 sin(1/x^2), дополненная непрерывно F(0)=0, f(x) = F’(x) = 2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2), дополненная в нуле f(0)=0. Но f не интегрируема по Риману на [0; 1], т к одно из требований Риман-интегрируемости — это ограниченность, чего f не имеет.
Соответственно, суть мема в том, что контрпримеры для первого случая это зачастую простенькие функции со скачками, а для второго — хтонические монстры.
Тем не менее как и у любой теоремы, у неё есть какие-то требования/гипотезы. У f должна существовать первообразная и она должна быть интегрируема по Риману. Хотелось бы думать, что эти два условия непременно связаны, но оказывается не так :
1. Можно легко построить пример функции, которая интегрируема по Риману, но не имеет первообразной. Например, f(x) = 0 для x=1 на интервале [0, 2].
2. Можно чуть менее легко построить пример функции, у которой есть первообразная, но которая не интегрируема в смысле Римана. Например, F(x)= x^2 sin(1/x^2), дополненная непрерывно F(0)=0, f(x) = F’(x) = 2x sin(1/x^2) - 2/x cos(1/x^2), дополненная в нуле f(0)=0. Но f не интегрируема по Риману на [0; 1], т к одно из требований Риман-интегрируемости — это ограниченность, чего f не имеет.
Соответственно, суть мема в том, что контрпримеры для первого случая это зачастую простенькие функции со скачками, а для второго — хтонические монстры.
Чтобы написать коммент, необходимо залогиниться
