теория вероятности / прикольные картинки, мемы, смешные комиксы, гифки - интересные посты на SafeReactor / новые посты

Шарик, брошенный ловкой рукой крупье, катится по наклонному бортику колеса рулетки, затем скатывается вниз и замирает в одной из ячеек с нанесенными на них номерами. Ячеек в европейском варианте рулетки 37 — 36 номеров и один двойной ноль. Угадал игрок — получает выигрыш: максимум в тридцать пять раз больше ставки; нет — его фишки отойдут крупье. Если считать, что попадание шарика в какую-то ячейку — событие случайное, то вероятность угадывания окажется 2,7%, вот почему казино никогда проиграть не может.

Однако случайный характер этого явления не раз и не два подвергался сомнению теми игроками, которые хотели найти систему в движении шарика. «К черту систему! Никаких систем не существует. Я как-то выиграл семнадцать раз подряд, но тут система была ни при чем. Просто дурацкое счастье!» — так пытался Джек Малыш отговорить Смока Беллью от идеи обыграть казино в Доусоне. «Нам известно, что в рулетке не может быть никаких систем. Так говорят все ученые математики. Рулетка сама по себе система, и все другие системы против нее бессильны, в противном случае арифметика — чушь. Если система может победить систему, значит, системы не существует», — поддакивал ему хозяин казино Гарвей Моран, другой герой той же повести Джека
Лондона «Смок Беллью». Однако Смоку все-таки удавалось систематически выигрывать, и причиной была не математика, а физика — закономерная, а не случайная траектория движения шарика из-за рассохшегося колеса.

Оказывается, эта история основана на реальном случае.

Английский механик и математик-любитель Уильям (по другой версии Джозеф) Джаггер однажды заметил, что при наклоне колеса рулетки исход отнюдь не равновероятен, чем и можно воспользоваться для получения выигрыша. Приехав в 1873 для каждого из шести столов обнаружил отклонения от чисто случайного исхода. Используя находку, Джаггер неделю выигрывал приличные суммы. Администрация казино заметила необычное везение игрока, призадумалась — и поменяла местами колеса столов. Серия выигрышей закончилась. Однако провести инженера-механика было непросто. Он снова пустился в наблюдения и на этот раз сумел определить индивидуальные различия именно колес. Отслеживая их перемещения по столам, Джаггер менял тактику и опять оставался в выигрыше. Считается, что он выиграл огромную по тем временам сумму в 65 тысяч фунтов стерлингов, и этот случай послужил созданию в 1892 году песни Фреда Гилберта «The Man Who Broke the Bank of Monte Carlo» («Человек, который сорвал банк в Монте-Карло»). Впрочем, есть и другое мнение: героем песни был вовсе не математик Джаггер, а удачливый игрок Чарльз Девилл Уэллс, несколько раз выигрывавший там же в 1891 году по миллиону франков.

Вообще же, история рулетки неразрывно связана с математикой, есть даже предположение, что к созданию игры приложил руку сам Блез Паскаль. Этот французский математик прославлен разработкой первой вычислительной машины, предка арифмометра, и более того, именно Паскаль организовал по поручению канцлера Людовика XIV де Сегье массовое производство таких машин — в количестве пятидесяти одной штуки. Ему же принадлежат доказательство существования атмосферного давления (не зря оно в СИ измеряется в паскалях), идея гидравлического пресса и, что имеет прямое отношение к делу, создание в переписке с Пьером де Ферма основ теории вероятностей. Эта его работа была основана на анализе азартных игр и связана с поиском правильной стратегии выигрыша. Насколько легенда соответствует истине, неясно, но спустя сто лет после смерти Паскаля парижане уже вовсю просаживали деньги в рулетку.

В 1914 году другой великий французский математик, Анри Пуанкаре, создатель топологии, математического аппарата теории относительности и автор множества других достижений — рассуждая в работе «Наука и методы», использовал именно рулетку. Правда, это был весьма упрощенный вариант — в нем не было шарика, а только вращающееся колесо с чередующимися секторами красного и черного цвета (сегодня схожий вариант называется Колесом фортуны). Расчет показал, что точка остановки диска строго определена начальными условиями, в частности исходной скоростью диска. Однако малейшие изменения начальных условий приводят к значительному изменению результата. Иначе говоря, при всей предопределенности каждого исхода воспользоваться ею нельзя — непрерывное распределение исходных скоростей в серии игр делает все результаты равновероятными. Введенное Пуанкаре преставление о зависимости исхода от незначительных изменений начальных условий какого-то процесса лежит в основе современной теории хаоса.

Следующую значительную попытку в создании системы для выигрыша в рулетку предпринял Эдвард Торп, тогда студент-второкурсник Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Свою деятельность в этом направлении Торп начал в 1955 году, поводом же, как он сам признается, стали женитьба и желание разбить цепи нищеты: молодая семья жила на сто долларов в месяц в студенческом общежитии. Суть идеи, высказанная как-то на совместном чаепитии с соседями, состояла в том, что чем лучше сделано колесо рулетки (а после успеха Джаггера хозяева казино стали пристально следить за качеством колеса и правильностью его установки), тем меньше случайных факторов влияет на движение шарика. А значит, математическая модель рулетки существенно упрощается, давая возможность точно рас-считать траектории всех движений, влияющих на результат.

Первые опыты он провел в перерывах между подготовкой диссертации по ядерной физике, на игрушечной рулетке году в Монте-Карло, он месяц с лишним наблюдал за игрой и (ее при неподъемной цене в 25 долларов Эдварду подарил один из студентов), пытаясь заснять и прохронометрировать движение шарика с помощью бытовой кинокамеры. Ничего не получалось: шарик прыгал по неровному колесу, камера снимала плохо. Многочасовые катания шариков по полу также не приблизили Торпа к успеху. Однако это исследование вызвало у него такой интерес к математике, что он перевелся на математическое отделение и вскоре сделал работу о математической модели игры в очко. Реферат заявленного на конференции Американского математического общества в 1960 году доклада «Формула успеха: игра в очко» имел такой успех, что возникла мысль как можно быстрее опубликовать полный текст в «Proceedings of the National Academy of Science». Для этого нужно было заручиться рекомендацией какого-нибудь академика. Эдварду удалось записаться на прием к Клоду Шеннону, преподававшему в Массачусетском технологическом институте и уже прославившемуся в качестве создателя теории информации. Кроме того, Шеннон сделал первую машину, умеющую играть в шахматы, первую промышленно выпускаемую радиоуправляемую игрушку, устройство для складывания кубика Рубика и много чего еще.

Встреча состоялась, причем секретарша предупредила: мэтр сможет уделить лишь несколько минут. Их хватило для того, чтобы Шеннон поправил заголовок статьи на более скромный: «Предпочтительная стратегия для игры в двадцать одно», пообещал представить текст в журнал и поинтересовался, чем еще занимается молодой ученый. Тот и поделился идеей математического описания рулетки. Спустя два часа обсуждения они расстались партнерами. Вскоре в лабораторию Шеннона привезли настоящий игорный стол из казино, высокоскоростную кинокамеру , стробоскоп и прочее необходимое оборудование. Целью исследования было определение зависимости траектории шарика от начальной скорости его движения.

Напомним устройство современного колеса рулетки. Оно состоит из двух частей: вращающегося донышка, называемого ротором, и неподвижного статора — окружающих его достаточно пологих бортиков. На роторе расположен круг, разделенный низкими стенками на 37 ячеек немного большего размера, чем диаметр шарика. Каждой ячейке присвоен номер от 0 до 36, причем последовательность этих чисел случайна. Кроме того, ячейки через одну окрашены в красный или черный цвет, а двойной ноль — в зеленый. Крупье раскручивает ротор и запускает шарик так, чтобы он вращался вдоль бортика в противоположную сторону. Через несколько кругов шарик теряет энергию движения, сваливается на ротор и может либо сразу замереть в одной из ячеек, либо перекатиться через стенку и остановиться в какой-то из соседних. Как правило, ставки разрешено делать до тех пор, пока шарик вращается вдоль бортика. Игрок же в простейшем случае угадывает цвет ячейки или чет-нечет (тогда выигрыш будет 2:1), а в сложнейшем, поставив на номер ячейки, может получить 35:1. Есть и промежуточные варианты — ставки на несколько чисел от 2 до 18 с пропорциональным уменьшением выигрыша.

Потеря энергии шариком во время движения определяется трением, сила которого зависит от качества поверхности бортика. И если она хорошо отполирована, можно рассчитать, за какое время энергия истратится и шарик упадет на ротор. В свою очередь, зная расположение ротора до начала движения и скорость его вращения, можно определить, как будет ориентирована шкала с числами во время остановки шарика, то есть рассчитать, в какую ячейку шарик свалится.
Конечно, тут действуют случайные факторы: шарик сталкивается со стенками ячеек под непредсказуемыми углами и способен перепрыгнуть в соседнюю ячейку, пальцы крупье могут вспотеть и сила трения изменится, так же, как и от пепла сигареты, который какой-то игрок уронит на колесо. Однако в общем случае все определяется характеристиками колеса и шарика.

Согласно схеме, составленной Торпом, после того, как крупье запустил шарик, расположенный на стоящем рядом с колесом наблюдателе компьютер замеряет необходимые параметры, рассчитывает результат и сообщает их игроку, находящемуся в другом конце стола. Тот быстро делает ставку и получает выигрыш.

В 1969 году наблюдения в разных казино показали, что задача предсказания в реальности упрощается: у трети колес имеется наклон на угол, больше, чем 12’. Этого вполне достаточно, чтобы сработал эффект Джаггера. В общем, при помощи компьютера есть возможность предсказать место падения шарика с вероятностью 44%. История умалчивает, воспользовался ли Торп своей системой. Во всяком случае, эта работа прибавила ему популярности, и ныне он профессор математики, менеджер хэджфонда, занимающегося финансовыми спекуляциями, а кроме того, считается одним из создателей современных приложений теории вероятности для выбора тактики работы на фондовой бирже. Видимо, это и позволило ему «разбить цепи нищеты», правда, не так быстро, как мечталось в середине 50-х.

Чтобы не искушать всамделишных игроков, которыми движет страсть к наживе, а не любовь к математике, Торп воздержался от публикации уравнений, с помощью которых можно было бы воспроизвести эту схему обыгрывания казино. Однако двух студентов Калифорнийского университета в Санта-Круз, Дойна Фармера и Нормана Паккарда, это не остановило. Повторив опыты Торпа — Шеннона и построив в 1977 году уравнения движения шарика и ротора, они решили действовать. В подошву ботинка встроили микропроцессор, которым наблюдатель управлял с помощью пальцев ноги. На теле игрока закрепили электромагнитные вибраторы: принимая сигнал от компьютера, они сообщали, в каком секторе из пяти ячеек остановится шарик. Явившись в Лас-Вегас в 1978 году, исследователи выиграли 10 тысяч долларов, причем игрок получил травму — соленоиды вибраторов били током. Научное любопытство позволило выдержать это испытание, однако в месте контакта возник ожог. Выигрыш друзья решили потратить на поддержку научных исследований, и не зря: сейчас они стали известными специалистами в теории хаоса, разработке генетических алгоритмов и клеточных автоматов. В частности, на этой основе в 1985 году они создали алгоритм предсказания движения фондовых индексов и основали существующую по сей день компанию, которая этими предсказаниям занимается, будучи подразделением швейцарского банка UBS.

Но подобные работы выпустили джинна из бутылки. Например, в 2004 году группа игроков, используя схожую технику, только уже XXI века — лазерные сканеры и сотовые теле-фоны, — сорвала банк лондонского казино Ритц, забрав 1 миллион 300 тысяч фунтов стерлингов. Полиция арестовала их за мошенничество, но вскоре была вынуждена отпустить, поскольку суд решил, что стоять за спиной у крупье и светить лазером на колесо не возбраняется. Впрочем, как указывал
Торп, у казино есть простой способ борьбы с такими умниками: достаточно запретить делать ставки после того, как шарик вброшен в колесо. С другой стороны, подобные запреты порождают сомнения в честности крупье, ведь только в случае, если ставка сделана после того, как он закончил работать руками, обвинения в обмане игрока будут беспочвенны.

Однако математическая история на этом не заканчивается. В одном из номеров журнала Американского физического общества «Chaos» Майкл Смолл из Пертского университета, работающий по совместительству в Политехническом университете Гонконга, вместе со своим коллегой Чи Кунцзэ рассказали об испытаниях новой математической модели рулетки. Кстати, они же поведали и значительную часть приведенной в этой заметке истории вопроса. Иследователи полагают, что сумели описать движение колеса и шарика, зная для каждого три параметра: исходные позицию, скорость и ускорение. Причем, по их мнению, просто пересчитывая число вращений колеса и шарика, можно по итогам длительной игры уйти из казино в плюсе на 18%.

Цель расчета — определить, за какое время шарик достигнет обода колеса. Тогда, зная скорость вращения и начальное положение последнего, легко рассчитать, в какой ячейке откажется шарик. Движение шарика распадается на несколько этапов. Вначале он движется по наклонной стенке бортика, постепенно замедляясь из-за силы трения. Радиус орбиты не меняется — его поддерживает центробежная сила. Как только сила тяжести превысит ее, шарик переходит ко второму этапу: он начинает свободно катиться по стенке, приближаясь к ободу. Скорость этого движения зависит в конечном счете от угла наклона стенки. Когда радиус орбиты уменьшается до радиуса колеса, шарик попадает в одну из ячеек. Наклон колеса вносит свою долю, запрещая падения в какой-то сектор.

Как же измерить все шесть параметров, необходимых для предсказания исхода игры? Оказывается, не так уж и сложно. Нужно дважды зафиксировать моменты, в которые шарик и колесо проходят условленную точку. Сделать это можно, нажимая в такой момент контрольную кнопку — как и поступали Фармер и Паккард со своим ножным компьютером, а дальше тот рассчитает по формулам все основные параметры. Проверка такого простого алгоритма действий на экспериментальном игровом столе показала, что в 13 случаях из 22 удается угадать, в какую половину колеса свалится шарик. Если делать ставки на все числа этой половины, как раз получится итоговый выигрыш 18%. Пусть не миллионы сразу, но весьма надежно.

Более интересные результаты получились у Смолла и Ци, когда они применили для наблюдения за колесом цифровую камеру со скоростью съемки 90 кадров в секунду. С ее помощью компьютер сразу получал все необходимые данные для расчета и выдавал указание уже не на половину круга, а на конкретный номер. Анализ 700 опытов показал: исходное предположение — качество профессионального колеса столь высоко, что параметры движения раз от раза не меняются — совершенно справедливо. Главное же, что вероятность найти шарик в предсказанной ячейке была с надежностью 99% выше, чем чистая случайность. Правда, вовсе не столь высокой, чтобы позволить быстро сорвать банк. Интересной особенностью то ли алгоритма расчета, то ли используемого стола оказалась почти столь же повышенная по сравнению со случайностью вероятность попадания шарика в ячейку, расположенную примерно за треть круга до предсказанной.

Авторы работы делают вывод, что рассчитать исход игры в принципе возможно. Однако тут нет ничего страшного: правильно сделать это удается отнюдь не каждый раз — мешают не учтенные в математической модели факторы. Поэтому и игроку трудно сорвать банк с помощью различных технических новинок, и крупье нелегко обмануть игроков и так запустить шарик, чтобы выигрыш оказался как можно меньше. На последнее обстоятельство, впрочем, обращал внимание еще Торп: поскольку исходное положение колеса случайно, как бы крупье ни приноравливался запускать шарик, добиться преднамеренного результата ему не удастся.